Презентація "Похідна її застосування"

 Презентація "Похідна її застосування"

Показникова функція

Перегляд документа

Теорія ймовірностей і математична статистика

                    Теорія ймовірностей і математична статистика

Приклади задач.

 Теорія ймовірностей вивчає математичні моделі реальних випадкових явищ (подій), які називають ймовірнісними моделями. Такі моделі

дозволяють зрозуміти математичну сутність реальних випадкових подій та

надають можливість прогнозувати перебіг досліджуваних випадкових подій. Як приклад можна привести зростання чи спадання курсів

валют, темпів виробництва, попиту на  товари та  послуги, прогнозування результатів виборів, результатів спортивних змагань тощо.

 1. Випадкові події та операції над ними.

Експериментом (або  випадковим експериментом) називають

певний комплекс умов, що забезпечують спостереження за певним

реальним випадковим явищем (певною реальною випадковою подією).

Кожне окреме проведення експерименту (тобто забезпечення

певних умов) називають випробуванням, а  відповідний результат

випробування називають наслідком, або елементарним наслідком

або елементарною подією. Елементарну подію, як правило, позначають символом ω, або ωi, або іншими символами.

Сукупність усіх елементарних подій, пов’язаних з  конкретним

експериментом, позначають Ω і називають множиною (або простором) елементарних подій.

Приклад 1. Проводиться експеримент: підкидається монета і фіксується грань, якою монета падає догори. Кожне окреме підкидання монети є випробуванням, а випадання «герба» або «номіналу» є  можливими наслідками (елементарними подіями).

Простір елементарних подій для даного експерименту має вигляд Ω = {«герб», «номінал»}. За іншою домовленістю можна

вважати, що Ω = {Ц, Г} або Ω = {0, 1}, де Ц та 0 означає випадання цифри-номіналу, а Г та 1 — випадання герба.

Кожну реальну випадкову подію, пов’язану з даним експериментом, ототожнюють з  її математичною моделлю  —

певною сукупністю результатів цього експерименту. Такі

моделі називають подіями (або  випадковими подіями) і  позначають великими латинськими літерами A, B, C,... Отже,

кожна подія А ⊂ Ω є  підмножиною простору Ω елементарних подій.

Кажуть, що подія A відбулася (не відбулася) в результаті випробування, якщо результатом цього випробування є  наслідок ω∈A (наслідок ω∉A).

Дві події мають спеціальну назву: A=Ω вірогідна (або  достовірна) подія, яка відбувається в  результаті кожного випробування, пов’язаного з  даним експериментом, та B=∅  —неможлива подія, яка не  відбувається в  результаті кожноговипробування, пов’язаного з даним експериментом.

Якщо ω∈A, то кажуть, що елементарна подія ω сприяє події A. В іншому разі кажуть, що ω не сприяє події A.

Випадкові події словесно можна задати багатьма різними

способами, але як підмножини простору Ω вони визначаються

однозначно. Тому потрібно вміти порівнювати події за їх перебігом: відбулась подія чи ні.

Якщо подія А  відбувається завжди, коли відбувається подія B, то кажуть, що подія A спричинюється подією B або подія B спричинює подію A, і пишуть B⊂A.

Події A і  B називають однаковими або рівними і  пишутьA=B, якщо кожна з них спричинює іншу з них.

Приклад  2.  При підкиданні грального кубика простір елементарних

подій може мати вигляд Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Розглянемо події A —

«випадання парної кількості очок», B  — «випадання не  менше семи очок», C  — «випадання не  більше семи очок», D  — «випадання одного з трьох чисел, добуток яких дорівнює 48».

Тоді A = {2, 4, 6}, B=∅ — неможлива подія, C = Ω — вірогідна

подія, D = {2, 4, 6}. Таким чином B⊂ A=D⊂ C=Ω.

Приклад  3.  Монету підкидають двічі і  фіксують результат кожного

підкидання. Побудувати простір елементарних подій і з’ясувати,

з  яких елементарних подій складаються події: A  — «принаймні один раз випав герб», B  — «результат другого підкидання

не  такий, як  результат першого підкидання», C  — «герб випав

один раз», D — «герб не випав жодного разу».

Які з подій A, B, C, D спричинюють інші? Чи є серед цих подій

рівні (однакові)? Чи є серед подій такі, що не спричинюються іншими з даних подій?

Розв’язання. При двократному підкиданні монети можливі

чотири елементарних наслідки: (a, a), (a, p), (p, a), (p, p), де a —

випадання аверсу (випадання «герба»), p — випадання реверсу

(випадання «номіналу»). Очевидно, що зазначені наслідки утворюють сукупність усіх можливих наслідків. Отже, множина

Ω = {(a, a), (a, p), (p, a), (p, p)}

є простором елементарних подій даного експерименту.

Зрозуміло, що A  =  {(a,  a);(a,  p);(p,  a)}, B =  {(a,  p);(p,  a)}  = C,

D = {(p, p)}. Тому події B і C рівні, тобто спричинюють одна одну,

і,  окрім цього, обидві вон1.2. Операції над подіямии спричинюють подію  AD не спричинюється жодною з даних подій. 1.2. Операції над подіями

Приклад 1. З ящику, що містить кульки білого та чорного кольору, навмання виймають одну кульку. Подія A = «вийнято кульку білого

кольору», подія B = «вийнято кульку чорного кольору». Сумісні

чи несумісні ці події? Утворити двома способами простір подій S,

до якого входять події A і B.

Розв’язання. Події A і B несумісні, тому що поява події A виключає можливість появи події B, і навпаки. У  даному випадку

події A і B є взаємно протилежними:

AB B = =Ω− ; BA A = =Ω− .

Якщо S1={A,B,∅, Ω}, то S1 задовольняє умови 1S – 3S, і тому

S — найвужчий простір подій, що містить події A і B.

Якщо S2 містить усілякі підмножини простору Ω елементарних

подій, то це найширший простір подій, що містить події A і B.

Простори S1 і S2 можуть бути як рівними, так і не рівними залежно від простору Ω.

Приклад 2. Підкидають два гральних кубики. Нехай події Ai = «випаде

і очок на першому кубику», i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, Bj = «випаде j очок

на другому кубику», j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Виразити через Ai, Bj такі події:

а) сума очок на двох кубиках дорівнює п’яти;

б) випаде в сумі не менше десяти очок;

в) випаде в сумі не більше трьох очок.

Розв’язання. а) Нехай подія C1 = «сума очок на двох кубиках

дорівнює п’яти». Ця подія можлива тоді і лише тоді, коли на першому кубику випаде i очок, а на другому — j очок так, щоб i + j = 5,

тобтоC1 = A1 · B4 + A2 · B3 + A3 · B2 + A4 · B1.

б)  Позначимо подію C2 =  «випаде в  сумі не  менше десяти

очок». Подія C2 відбудеться тоді і тільки тоді, коли на двох кубиках у сумі випаде або 10, або 11, або 12 очок, тобто i = 4, j = 6, або

i = 5, j = 5, або i = 5, j = 6, або i = 6, j = 4, або i = 6, j = 5, або i = 6,

j = 6. Тому

C2 = A4 · B6 + A5 · B5 + A5 · B6 + A6 · B4 + A6 · B5 + A6 · B6.

в)  Нехай подія C3  =  «випаде в  сумі не  більше трьох очок».

Оскільки найменша кількість очок, яка може випасти на кожному

кубику, дорівнює одиниці, то подія C3 можлива лише тоді і тільки

тоді, коли сума очок на двох кубиках дорівнюватиме або двом, або

трьом. Тому C3 = A1 · B1 + A1 · B2 + A2 · B1.

 i = 1, j = 4, або i = 2

Подія D полягає в тому, що в мішень не влучить жодний стрілець, тобто не влучить ні перший ( ) A , ні другий ( ) B . ТомуD= AB ⋅ .

Подія E відбудеться тоді і тільки тоді, коли в мішені влучить

хоча б один із стрільців. Це може бути, коли обидва стрільці влучать у мішень, або перший влучить, другий не влучить, або перший не влучить, а другий влучить. ТомуE AB AB AB =++ ,

тобто відбудеться принаймні одна з подій A або B. Отже,

E = A + B., j = 3, або i = 3, j = 2, або i = 4, j = 1.

.2. Операції над подіями

Приклад  3.  Два стрільці виконують по  одному пострілу у  мішень.

Подія A  =  «у  мішень влучив перший стрілець», подія B  =  «у  мішень влучив другий стрілець». Виразити через A і  B такі події:

C = «два влучення в мішень»; D = «жодного влучення в мішень»;

E = «хоча б одне влучення в мішень»; F = «лише одне влучення

в мішень».

Розв’язання. Поява події C  означає, що  обидва стрільці влучать у мішень. Тому подія є добутком подій A і B. Отже,

C = A · B.

Подія D полягає в тому, що в мішень не влучить жодний стрілець, тобто не влучить ні перший ( ) A , ні другий ( ) B . Тому

D AB = ⋅ .

Подія E відбудеться тоді і тільки тоді, коли в мішені влучить

хоча б один із стрільців. Це може бути, коли обидва стрільці влучать у мішень, або перший влучить, другий не влучить, або перший не влучить, а другий влучить. Тому

E AB AB AB =++ ,

тобто відбудеться принаймні одна з подій A або B. Отже,

E = A + B.

Задачі на застосування похідної

Задачі на застосування похідної

ПРИКЛАД 1 (розмноження вірусів).
Досліджено, що швидкість розмноження вірусів пропорційна їх кількості тоді швидкість приросту маси вірусів називається швидкістю розмноження. Знайти масу вірусів .,якщо k коефіцієнт розмноження ( залежить від виду вірусів і зовнішніх умов), x(t) маса вірусів у момент t.
РІШЕННЯ: x’(t) – швидкість розмноження вірусів існує k, що х’(t)=kх  коли k>0 то х=〖Ce〗^kt, де С-деяка стала, є розв’язок попереднього рівняння.
Справді, х’(t)=k(〖Ce〗^kt)=kx.
Якщо відомі значення k і маса вірусів у деякий момент часу t_0, то m_(0=) 〖Ce〗^kt 0,
x(t)= m_0 e^(k(t-t0)) .
ПРИКЛАД 2. На лузі біля річки треба обгородити ділянку прямокутної форми, що прилягає до прямолінійного берега річки (з боку річки огорожа не ставиться). Завезено 200 погонних метрів огорожі. Якими мають бути розміри відповідного прямокутника, щоб його площа була найбільшою?
РІШЕННЯ : Позначимо а-довжину, b- ширину ділянки огорожа 200=2а+b, тоді b=200-2а. Площа ділянки  S=ab=a(200-2a)=200a-2a^2. Знайдемо похідну цієї функції S’(a)=200-4a, знайдемо стаціонарну точку
200-4а=0, 4а=200, а=50 тоді b=200-2*50=100. Отже площа ділянки найбільша коли ширина прямокутника-100 м,а довжина-50 м.
ПРИКЛАД 3. Визначити розміри відкритого басейну з квадратним дном і об’ємом V=32м^3, щоб на облицьовування стін і дна пішла найменша кількість матеріалу.
РІШЕННЯ: Позначимо  довжину сторони основи –х, а висоту через-y, тоді V=x^2*y=32,у=32/х^2.
Площа басейну S=x^2+4xy=х^2+128/х.
Знайдемо похідну S’(x)=2x-128/x^2. Якщо 2х-128/х^2=0, х=4, тоді у=2.
Отже найменше матеріалу піде на облицьовування басейну якщо його висота дорівнює 2 м. а сторона основи 4 м.

Тіла обертання

Презентація "Циліндр"

Презентація "Конус"

Презентація "Куля та сфера"