Задачі на застосування похідної

Задачі на застосування похідної

ПРИКЛАД 1 (розмноження вірусів).
Досліджено, що швидкість розмноження вірусів пропорційна їх кількості тоді швидкість приросту маси вірусів називається швидкістю розмноження. Знайти масу вірусів .,якщо k коефіцієнт розмноження ( залежить від виду вірусів і зовнішніх умов), x(t) маса вірусів у момент t.
РІШЕННЯ: x’(t) – швидкість розмноження вірусів існує k, що х’(t)=kх  коли k>0 то х=〖Ce〗^kt, де С-деяка стала, є розв’язок попереднього рівняння.
Справді, х’(t)=k(〖Ce〗^kt)=kx.
Якщо відомі значення k і маса вірусів у деякий момент часу t_0, то m_(0=) 〖Ce〗^kt 0,
x(t)= m_0 e^(k(t-t0)) .
ПРИКЛАД 2. На лузі біля річки треба обгородити ділянку прямокутної форми, що прилягає до прямолінійного берега річки (з боку річки огорожа не ставиться). Завезено 200 погонних метрів огорожі. Якими мають бути розміри відповідного прямокутника, щоб його площа була найбільшою?
РІШЕННЯ : Позначимо а-довжину, b- ширину ділянки огорожа 200=2а+b, тоді b=200-2а. Площа ділянки  S=ab=a(200-2a)=200a-2a^2. Знайдемо похідну цієї функції S’(a)=200-4a, знайдемо стаціонарну точку
200-4а=0, 4а=200, а=50 тоді b=200-2*50=100. Отже площа ділянки найбільша коли ширина прямокутника-100 м,а довжина-50 м.
ПРИКЛАД 3. Визначити розміри відкритого басейну з квадратним дном і об’ємом V=32м^3, щоб на облицьовування стін і дна пішла найменша кількість матеріалу.
РІШЕННЯ: Позначимо  довжину сторони основи –х, а висоту через-y, тоді V=x^2*y=32,у=32/х^2.
Площа басейну S=x^2+4xy=х^2+128/х.
Знайдемо похідну S’(x)=2x-128/x^2. Якщо 2х-128/х^2=0, х=4, тоді у=2.
Отже найменше матеріалу піде на облицьовування басейну якщо його висота дорівнює 2 м. а сторона основи 4 м.